Question

如圖，在平面直角坐標系中，兩個函數y=x，y=-

1

2

x+6的圖象交于點A．動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，作PQ∥x軸交直線BC于點Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設它與△OAB重疊部分的面積為S．
（1）求點A的坐標．
（2）試求出點P在線段OA上運動時，S與運動時間t（秒）的關系式．
（3）在（2）的條件下，S是否有最大值若有，求出t為何值時，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請說明理由．
（4）若點P經過點A后繼續按原方向、原速度運動，當正方形PQMN與△OAB重疊部分面積最大時，運動時間t滿足的條件是

 

．

Answer 1

分析：（1）因為兩個函數y=x，y=-

1

2

x+6的圖象交于點A，所以將兩個函數的解析式聯立，得到方程組，解之即可；
（2）因為點P在直線OA即y=x上以每秒1個單位的速度運動，所以OP=t，而OA是第一、三象限坐標軸夾角的平分線，所以點P坐標為(

2

2

t，

2

2

t)，又因PQ∥x軸交直線BC于點Q，所以可得點Q的縱坐標為

2

2

t，并且點Q在y=-

1

2

x+6上，因此可得到關于x、t的關系式，經過變形可用t表示x，即得到點Q坐標為(12-

2

t，

2

2

t)，PQ=12-

3 2

2

t，當重疊部分是正方形時，分情況代入面積公式中求解；
（3）結合（2）中的關系式可知有最大值，并且最大值應在0＜t≤3

2

中，利用二次函數最值的求法就可得到S的最大值為12；
（4）若點P經過點A后繼續按原方向、原速度運動，當正方形PQMN與△OAB重疊部分面積正好最大時，此時重合部分就是△AOB，B的坐標為（12，0），并且有PB⊥OB，PB=OB=12，所以OP=12

2

，即t≥12

2

．

解答：解：（1）由

y=x y=- 1 2 x+6

可得

x=4 y=4

，
∴A（4，4）；

（2）點P在y=x上，OP=t，
則點P坐標為(

2

2

t，

2

2

t)，
點Q的縱坐標為

2

2

t，并且點Q在y=-

1

2

x+6上，
∴

2

2

t=-

1

2

x+6，x=12-

2

t，
即點Q坐標為(12-

2

t，

2

2

t)，PQ=12-

3 2

2

t，
當12-

3 2

2

t=

2

2

t時，t=3

2

，
當0＜t≤3

2

時，S=

2

2

t(12-

3 2

2

t)=-

3

2

t2+6

2

t，
當點P到達A點時，t=4

2

，
當3

2

＜t＜4

2

時，S=(12-

3 2

2

t)2，
=

9

2

t2-36

2

t+144；

（3）有最大值，最大值應在0＜t≤3

2

中，
S=-

3

2

t2+6

2

t=-

3

2

(t2-4

2

t+8)+12=-

3

2

(t-2

2

)2+12，
當t=2

2

時，S的最大值為12；

（4）當正方形PQMN與△OAB重疊部分面積正好最大時，此時重合部分就是△AOB，
∵B的坐標為（12，0），PB⊥OB，
∴PB=OB=12，
∴OP=12

2

，
∴t≥12

2

．

點評：解決本題這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．