Question

已知：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點A與邊DC上的動點P重合（P不與點D，C重合），MN為折痕，點M，N分別在邊BC，AD上，連接AP，MP，AM，AP與MN相交于點F．⊙O過點M，C，P．
（1）請你在圖1中作出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）與是否相等？請你說明理由；
（3）隨著點P的運動，若⊙O與AM相切于點M時，⊙O又與AD相切于點H．設AB為4，請你通過計算，畫出這時的圖形．（圖2，3供參考）

Answer 1

解：
（1）如圖：

（2）解法一：與不相等．
假設，
則由相似三角形的性質，得MN∥DC，
∵∠D=90°
∴DC⊥AD
∴MN⊥AD
∵據題意得，A與P關于MN對稱，
∴MN⊥AP
∵據題意，P與D不重合，
∴這與“過一點（A）只能作一條直線與已知直線（MN）垂直”矛盾，
∴假設不成立，
∴不成立；

解法二：與不相等．
理由如下：
∵P，A關于MN對稱，
∴MN垂直平分AP
∴cos∠FAN=
∵∠D=90°
∴cos∠PAD=
∵∠FAN=∠PAD
∴=
∵P不與D重合，P在邊DC上
∴AD≠AP
∴≠
從而≠；


（3）∵AM是⊙O的切線，
∴∠AMP=90°
∴∠CMP+∠AMB=90°
∵∠BAM+∠AMB=90°
∴∠CMP=∠BAM
∵MN垂直平分AP，
∴MA=MP
∵∠B=∠C=90°
∴△ABM≌△MCP
∴MC=AB=4
設PD=x，則CP=4-x
∴BM=PC=4-x
連接HO并延長交BC于J，
∵AD是⊙O的切線
∴∠JHD=90°
∴HDCJ為矩形
∴OJ∥CP
∴△MOJ∽△MPC
∴OJ：CP=MO：MP=1：2
∴OJ=（4-x）
OH=MP=4-OJ=（4+x）
∵MC²=MP²-CP²
∴（4+x）²-（4-x）²=16
解得：x=1，即PD=1，PC=3
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．
分析：（1）以MP的中點為圓心，以MP的長為半徑作⊙O，則⊙O過M，P，C三點；
（2）解法1，假設兩者相等，則根據相似三角形的性質得：MN∥DC，由∠D=90°，可得：MN⊥AD，又A與P關于點F對稱，P與D不重合，與“過一點（A）只能作一條直線與已知直線（MN）垂直”矛盾，故假設不成立；解法2，由折疊的性質知：MN⊥AP，在Rt△AFN中，cos∠FAN=，在Rt△ADP中，cos∠PAD=，由∠FAN=∠PAD，可得：=，又P與D不重合，故≠，可得：與是不相等；
（3）作輔助線連接HO并延長交BC于J，根據折疊的性質知：MN垂直平分AP，可得：AM=DM，AM為⊙O的切線，可得：∠AMD=∠CMP+∠AMB=90°，又∠BAM+∠AMB=90°，可得：∠CMP=∠BAM，∠B=∠C=90°，可證：△ABM≌△MCD，MC=AB，BM=CP，由AD為⊙O的切線，可得：OJ⊥AD，故：JH∥CP，△MOJ∽△MPC，設PD的長為x，則PC=AB-x，OJ=PC，OH=AB-OJ可求出⊙O的半徑，又MC=AB，故在Rt△MCP中，運用勾股定理可將PD的長求出．
點評：此題作為壓軸題，綜合考查切線的性質，三角形相似的判定與性質等知識．