Question

已知二次函數y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求點A、B、C、D的坐標，并在下面直角坐標系中畫出該二次函數的大致圖象；
（2）說出拋物線y=x²-2x-3可由拋物線y=x²如何平移得到？
（3）求四邊形OCDB的面積．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，可求出C點的坐標，令y=0，可求出A、B的坐標；將二次函數的解析式化為頂點式，即可得到頂點D的坐標；
（2）將拋物線的解析式化為頂點式，然后再根據“左加右減，上加下減”的平移規律來進行判斷；
（3）由于四邊形OCDB不規則，可連接OD，將四邊形OCDB的面積分成△OCD和△OBD兩部分求解．

解答：解：（1）當y=0時，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∵A在B的左側，
∴點A、B的坐標分別為（-1，0），（3，0）（2分）
當x=0時，y=-3
∴點C的坐標為（0，-3）（3分）
又∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴點D的坐標為（1，-4）（4分）
（也可利用頂點坐標公式求解）
畫出二次函數圖象如圖（6分）

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線y=x²向右平移1個單位，再向下平移4個單位可得到拋物線y=x²-2x-3；

（3）解法一：連接OD，作DE⊥y軸于點E，作DF⊥x軸于點F
S_{四邊形OCDB}=S_△OCD+S_△ODB=

1

2

OC•DE+

1

2

OB•DF
=

1

2

×3×1+

1

2

×3×4=

15

2

（10分）
解法二：作DE⊥y軸于點E
S_{四邊形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△CED=

1

2

（DE+OB）•OE-

1

2

CE•DE
=

1

2

（1+3）×4-

1

2

×1×1=

15

2

（10分）
解法三：作DF⊥x軸于點F，
S_{四邊形OCDB}=S_梯形OCDF+S_△FDB=

1

2

（OC+DF）•OF+

1

2

FB•FD，
=

1

2

（3+4）×1+

1

2

×2×4=

15

2

．（10分）

點評：此題考查了二次函數與坐標軸交點及頂點坐標的求法，二次函數圖象的平移以及圖形面積的求法等知識，當所求圖形不規則時，其面積通常要轉化為規則圖形的面積的和差．