Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=15，BC=25，AB=DC=10，動點P從點D出發，以每秒1個單位長的速度沿線段DA的方向向點A運動，動點Q從點C出發，以每秒2個單位長的速度沿射線CB的方向運動，點P、Q分別從點D、C同時出發，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動．設運動的時間為t（秒）．
（1）當t=2時，求△APQ的面積；
（2）若四邊形ABQP為平行四邊形，求運動時間t；
（3）當t為何值時，以A、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）過A作AE⊥BC于E，先求出等腰梯形的高AE，當t=2時可求出AP的長，進而可求出△APQ的面積．
（2）如果四邊形ABQP為平行四邊形則可得出AP=BQ，從而可列出關于t的方程，解出即可得出t的值．
（3）將AP、AQ、PQ分別用t表示出來，然后討論，①AP=AQ，②AP=PQ，③AQ=PQ，分別解出t的值即可得出答案．

解答：解：（1）過A作AE⊥BC于E，
∵AB=DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
又∵AB=DC=10，AD=15，BC=25，
∴BE=

1

2

（BC-AD）=5，在RT△ABE中，AE=

AB2-BE2

=5

3

，
當t=2時，AP=AD-t=13，
∴△APQ的面積=

1

2

AP×AE=

65 3

2

．

（2）∵四邊形ABQP為平行四邊形，
∴AP=BQ，即AD-t=BC-2t，
∴15-t=25-2t，
解得：t=10秒．

（3）由題意可知：AP=15-t，
AQ=

(20-2t)2+(5 3 )2

；
PQ=

(5-t)2+(5 3 )2

；
①當AP=AQ時，t不存在；
②當AP=PQ時，即15-t=

(20-2t)2+(5 3 )2

，解得：t=

25

4

；
③當AQ=PQ時，即

(20-2t)2+(5 3 )2

=

(5-t)2+(5 3 )2

，解得：t₁=15（舍去），t₂=

25

3

；
綜上可知，當t=

25

4

或t=

25

3

時，以A、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形．

點評：本題考查了等腰梯形的性質、平行四邊形的性質、勾股定理及等腰三角形的性質，也結合了一元二次方程的應用，綜合性較強，有一定難度，在解答此類動點型題目時，要注意利用時間t表示出有關線段的長度，然后根據線段的幾何關系列出等式．