Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為正方形，E點在x軸的正半軸上運動，點F在CB邊上，且∠OAE=∠FAE
在圖①中，E點在OC邊上，，若延長AE、BC相交于點H，由∠OAE=∠FAE和AO∥BC，易知∠FAE=∠H，得AF=HF；由于E為OC中點，AO∥BC，可得△AOE≌△HCE，有AO=CH，又因AO=OC，可得CH=OC，所以有AF=CF+OC
（1）若E點在OC邊上，，（如圖②）請探索AF、FC、OC三條線段之間的數量關系，并證明你的結論；
（2）若E點在OC邊上，（n是大于1的整數），請直接寫出AF、FC、OC之間的數量關系（不要求證明）；
（3）若A點的坐標為（0，6），E點在x軸的正半軸上運動，點F在直線CB上，且∠OAE=∠FAE；當AF和CF相差2個單位長度時，試求出此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果延長AE、BC相交于點H，則由兩角對應相等的兩三角形相似易證△AOE∽△HCE，得出CH=OA．由已知條件∠OAE=∠FAE及平行線的性質得出∠FAE=∠H，則AF=HF，從而得出；
（2）由已知及上問結論，得出；
（3）由于E點在x軸的正半軸上運動，可分點E在OC邊上及點E在OC的延長線上兩種情況分別討論．針對每一種情況，均可列出關于n的方程，求出n的值，進而得到E點的坐標．
解答：解：（1）延長AE、BC相交于點H．
∵AO∥BC，
∴∠AOC=∠HCE，∠OAE=∠CHE，
∴△AOE∽△HCE，
∴AO：CH=OE：CE=2：1，
∴CH=OA．
∵∠OAE=∠CHE，∠OAE=∠FAE，
∴∠FAE=∠H，
∴AF=HF；
又HF=CF+CH，OC=OA，
∴；

（2）

（3）當E在OC邊上時，，
∴，
即，
∴n=4；
E為（4.5，0）；（2分）
當E在OC延長線上時，，
∴，
即，
∴n=2；
E為（8，0）．（3分）
點評：本題綜合考查了正方形的性質，全等三角形、相似三角形的判定等知識．同時也考查了學生的分析、歸納能力，難度較大．