Question

【題目】已知頂點為P的拋物線C1的解析式為y=a(x-3)2(a≠0),且經過點(0,1).

(1)求a的值及拋物線C1的解析式;

(2)如圖,將拋物線C1向下平移h(h>0)個單位得到拋物線C2,過點K(0,m2)(m>0)作直線l平行于x軸,與兩拋物線從左到右分別相交于A,B,C,D四點,且A,C兩點關于y軸對稱.

①點G在拋物線C1上,當m為何值時,四邊形APCG為平行四邊形?

②若拋物線C1的對稱軸與直線l交于點E,與拋物線C2交于點F.試探究:在K點運動過程中,的值是否改變?若會,請說明理由;若不會,請求出這個值.

Answer 1

【答案】（1）y=(x-3)2（2）①當m=時,四邊形APCG是平行四邊形②

【解析】

（1）直接利用待定系數法求二次函數解析式得出即可；

（2）首先得出△GQK≌△POK（ASA），進而得出頂點G在拋物線C1上，得出2m2=（-3-3）2，進而得出答案；

（3）利用函數對稱性表示出A點坐標，再表示出KC，PF的長，進而得出其比值．

(1)∵拋物線C1過點(0,1),∴1=a(0-3)2,解得a=

∴拋物線C1的解析式為y=(x-3)2.

(2)①連接PG,∵點A,C關于y軸對稱,

∴點K為AC的中點.

若四邊形APCG是平行四邊形,則必有點K是PG的中點.

過點G作GQ⊥y軸于點Q,

可得△GQK≌△POK,

∴GQ=PO=3,KQ=OK=m2,OQ=2m2.

∴點G(-3,2m2).

∵頂點G在拋物線C1上,∴2m2=(-3-3)2,

解得m=±,又m>0,∴m=

∴當m=時,四邊形APCG是平行四邊形.

②不會.在拋物線y=(x-3)2中,令y=m2,

解得x=3±3m,又m>0,且點C在點B的右側,

∴C(3+3m,m2),KC=3+3m.

∵點A,C關于y軸對稱,

∴A(-3-3m,m2).

∵拋物線C1向下平移h(h>0)個單位得到拋物線C2,∴拋物線C2的解析式為y=(x-3)2-h.

∴m2=(-3-3m-3)2-h,

解得h=4m+4,

∴PF=4+4m.

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