Question

已知：如圖，三個半圓彼此相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并與直線y=x相切，設半圓C₁、半圓C₂、半圓C_3…的半徑分別是r₁、r₂、r_3…，則當r₁=1時，則r₂₀₁₂=（ ）

A．3²⁰¹¹
B．3²⁰¹²
C．3²⁰¹⁰
D．3

Answer 1

【答案】分析：設三個半圓與直線OC分別相切于A、B、C點，分別連接圓心與切點，根據切線的性質得到三個直角三角形，再由直線OC的方程得到直線的傾斜角為30°，根據30°角所對直角邊等于斜邊的一半得到OC₁=2C₁A，0C₂=2C₂B，0C₃=2C₃C，再由三半圓彼此外切，得到相兩圓的圓心距等于兩半徑相加，得出r₁、r₂、r₃間的關系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此規律可歸納出r₂₀₁₂的值．
解答：
解：連接C₁A，C₂B，C₃C，
∵三半圓都與直線OC相切，
∴C₁A⊥OA，C₂B⊥OB，C₃C⊥OC，
又∵三個半圓依次與直線y=x相切并且圓心都在x軸上，
∴y=x的傾斜角是30°，
又∵三半圓彼此相外切，
∴OC₁=2C₁A=2r₁，0C₂=2C₂B=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃C=OC₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∵r₁=1=3，∴r₂=3=3¹，
∴OC₁=2，0C₂=2r₂=6r₁=6，0C₃=18，
∴r₃=9=3²，
∴按此規律歸納得：r_n=3^n-1，
則r₂₀₁₂=3²⁰¹¹．
故選A
點評：此題考查了兩圓相切的性質，切線的性質，含30°直角三角形的性質，一次函數的性質，兩圓了轉化及數形結合的思想，鍛煉了學生歸納總結的能力，其中當兩圓外切時，兩圓的圓心距等于兩半徑之和；兩圓內切時，兩圓圓心距等于兩半徑之差，熟練掌握性質是解本題的關鍵．