Question

如圖， 已知∠ABC=90°，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內部作等邊△ABE和△APQ,連結QE并延長交BP于點F.

（1）試說明：∠AEQ=90°；

（2）猜想EF與圖中哪條線段相等（不能添加輔助線產生新的線段），并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）EF=BF，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形性質得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根據SAS證△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；

（2）根據等邊三角形性質求出∠ABE=∠AEB=60°，根據∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：∵△ABE和△APQ是等邊三角形，

∴AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，

∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，

∴∠BAP=∠EAQ，

在△BAP和△EAQ中

∴△BAP≌△EAQ（SAS），

∴∠AEQ=∠ABC=90°；

（2）【解析】
EF=BF，

理由是：∵△ABE是等邊三角形，

∴∠ABE=∠AEB=60°，

∵∠ABC=90°=∠AEQ，

∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，∠EBF=90°-60°=30°，

∴∠EBF=∠BEF，

∴EF=BF．

考點：1.全等三角形的判定與性質；2.等腰三角形的判定與性質；3.等邊三角形的性質．