Question

如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的長分別為c、a、b．求△ABC的內切圓的半徑r．

Answer 1

答案：
解析：

分析：這是一道典型的三角形內切圓問題，可以從兩個不同的角度入手，來解答它． 　　解法一：我們可以利用三角形的面積公式來進行求解，因為S△ABC＝AC·BC＝ab；若我們連接AO、BO、CO(如圖)，這樣就會將△ABC分成了△AOB、△BOC、△AOC．因為⊙O內切于△ABC，所以⊙O的半徑r為△AOB、△BOC、△AOC的高，這樣就有S△AOB＝rc、S△BOC＝ra、S△AOC＝rb，即S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝rc＋ra＋rb；所以ab＝rc＋ra＋rb，整理后得r＝． 　　解法二：這道例題我們同樣可以利用切線長來解決．連接點O與△ABC的三邊切點OD、OE、OF(如圖)，根據切線性質定理有OE＝OF＝r，所以四邊形OECF是正方形，即CE＝CF＝r．又根據切線長定理得AD＝AF，且AF＝AC－r＝b－r，則AD＝b－r，同理BD＝a－r．又因為AB＝AD＋BD，即c＝(b－r)＋(a－r)，由此可推出r＝． 　　通過以上兩個求解過程，我們發現，同一問題兩個結論．這是怎么回事，難道是我們的計算出錯了嗎？其實這兩個結論是一致的，只是采用了兩種不同的表達方式而已． 　　首先，我們可找一些符合題意的數值代入檢驗一下，例如，3、4、5；5、12、13；1、1、等．同時，我們還可以通過比較它們的大小關系來證明這個問題，即．因為△ABC是直角三角形，所以c2＝a2＋b2，也就是說上式結果應該等于0．從而說明，所以兩個結論都是正確的． 　　那么，到底是什么原因造成這種情況的呢？其實造成一題兩解(結論)的原因，就在于圖形本身，正是因為△ABC為直角三角形，其三邊長a、b、c本身就存在等量關系所以我們才會得到兩個正確的解題思路，從而得出兩個結論． 　　同學們，上例這種情況的出現并不多見，在這里引以此例，就是希望同學們在以后的數學學習中謹慎、仔細．因為，數學中的每一個題設，對于我們解題而言都是至關重要的．