Question

一副直角三角板由一塊含30°的直角三角板與一塊等腰直角三角板組成，且含30°角的三角板的較長直角邊與另一三角板的斜邊相等（如圖1）

（1）如圖1，這副三角板中，已知AB=2，AC=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形中30°的直角邊所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BC的長，然后根據勾股定理即可求得AC的長；
（2）①根據三角板的度數即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易證△CDH∽△CBA，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得CH的長，進而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以證得Rt△AGD≌Rt△DHA，則BC∥AC′，利用平行線的性質即可求解；
（3）分0＜x＜3-，3-＜x≤，＜x≤2，x＞2四種情況即可求解．
解答：解：（1）∵直角△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=2AB=4．
∴AC==2．
在等腰直角直角△A′DC′中，A′C′=2，
∴A′D=A′C′=．

（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，則DH=A′C′=C′H=．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴=，即=，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-，即m=CC′=3-；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G．
由已知：DH=，
AG×BC=AB×AC，
∴AG===，
∴AG=DH．
在Rt△AGD和Rt△DHA中：，
∴Rt△AGD≌Rt△DHA．
∴∠GDA=∠DAH=45°，
∴BC∥AC′，
∴β=∠OHA=30°；

（3）y=，
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應相等相等，對應角相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了含30°的直角三角形三邊的關系以及等腰直角三角形的性質．