Question

如圖，CD與AB是⊙O內兩條相交的弦，且AB為⊙O的直徑，CE⊥AB于點E，CE=5，連接AC、BD．
（1）若sinD=

5

13

，則cosA=

12

13

；
（2）在（1）的條件下，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理和三角函數的定義求得AC=13；然后根據勾股定理知AE=12；最后利用三角函數定義求cosA的值；
（2）連接BC．利用（1）的結果，在直角三角形ABC中，根據∠A的余弦三角函數值求得AB的長度，然后利用圖中BE、AE以及AB間的數量關系來求BE的長度即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
∵∠A=∠D（同弧所對的圓周角相等），
∴sin∠D=sin∠D=

CE

AC

=

5

13

；
又∵CE=5，
∴AC=13，
∴AE=12（勾股定理），
∴cosA=

AE

AC

=

12

13

．…（2分）

（2）如圖，連接BC．
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
∴由（1）知AC=13，AE=12，cosA=

12

13

．
在Rt△ACB中，cosA=

AC

AB

，
∴AB=

169

12

．…（4分）
∴BE=AB-AE=

25

12

．…（5分）

點評：本題綜合考查了圓周角定理、同角三角函數的定義、勾股定理等知識．解答這類題一些學生往往不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．