Question

如圖，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0）、（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發、以每秒1個單位的速度運動，點M沿OA向點A運動，點N沿BC向點C運動，已知動點運動了t秒．過點M作MP⊥x軸，交AC于P，連接NP．
①直接寫出直線AC的解析式和點P的坐標（用含t的代數式表示）；
②當t為何值時，△CPN的面積取得最大值？并求出△CPN面積的最大值；
③當t為何值時，△CPN是一個等腰三角形？

Answer 1

解：（1）由題意可知，C（0，8），M（t，0），N（6-t，8），
設直線AC的解析式是：y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AC的解析式是：y=-x+8，
∵MP⊥x軸，
∴PM∥OC，
∴△APM∽△ACO，
∴=，
即=，
解得PM=（6-t）=8-t，
∴P點坐標為（t，8-t）；

（2）設△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=BC-BN=6-t，
NC邊上的高為8-（8-t）=t，其中，0≤t≤6．
∴S=（6-t）×t=-（t²-6t）=-（t-3）²+6，
∴當t=3時，△CPN的面積取得最大值，△CPN面積的最大值為6；

（3）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=t．
∴6-t-t=t，
解得t=2；
②若CP=CN，則CN=6-t，PQ=t，CP=t，
∴6-t=t，
解得t=；
③若CN=NP，則CN=6-t．
∵PQ=t，NQ=6-t-t=6-2t，
∵在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²，
∴（6-t）²=（6-2t）²+（t）²，
解得t=．
綜上所述，t=2或t=或t=．
分析：（1）先求出點C的坐標，再根據待定系數法求解直線的解析式，根據PM∥OC，利用相似三角形對應邊成比例求出PM的長度，即可得到P點的坐標；
（2）CN的長可根據CN=BC-BN來求得，然后利用點P的坐標求出點P到BC的距離，再根據三角形的面積計算公式即可得出S，x的函數關系式，然后再利用二次函數的最值問題求解；
（3）本題要分類討論：
①當CP=CN時，可在Rt△CPQ中，用CQ的長即t和∠ACB的余弦值求出CP的表達式，然后聯立CN的表達式即可求出t的值；
②當CP=PN時，那么CQ=QN，先在Rt△CPQ中求出CQ的長，然后根據QN=CN-CQ求出QN的表達式，根據題設的等量條件即可得出t的值．
③當CN=PN時，先求出QP和QN的長，然后在Rt△PNQ中，用勾股定理求出PN的長，聯立CN的表達式即可求出t的值．
點評：本題主要考查了矩形的性質、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識點．