Question

【題目】如圖，在⊙O中，點C是直徑AB延長線上一點，過點C作⊙O的切線，切點為D，連結BD．
（1）求證：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分別交AD、BD于點M、N，當DM=1時，求MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，

又∵CD與⊙O相切于點D，

∴∠CDB+∠ODB=90°，

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB，

∴∠A=∠BDC．

（2）

解：∵CM平分∠ACD，

∴∠DCM=∠ACM，

又∵∠A=∠BDC，

∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，

∵∠ADB=90°，DM=1，

∴DN=DM=1，

∴MN= =

【解析】（1）由圓周角推論可得∠A+∠ABD=90°，由切線性質可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；
　　　　（2）由角平分線及三角形外角性質可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根據勾股定理可求得MN的長．本題主要考查切線的性質、圓周角定理、角平分線的性質及勾股定理，熟練掌握切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑是解本題的關鍵．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．