Question

【題目】如圖，已知直角梯形，，，過點作，垂足為點，，，點是邊上的一動點，過作線段的垂直平分線，交于點，并交射線于點．

（1）如圖1，當點與點重合時，求的長；

（2）設，，求與的函數關系式，并寫出定義域；

（3）如圖2，聯結，當是等腰三角形時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）BC=5；（2）；（3）的長為或3或．

【解析】

（1）根據垂直平分線性質可知，設，，在中用勾股定理求出，即可解答；

（2）聯結，，在中，，在中，，消去二次項即可得到與的函數關系式；根據點是邊上的一動點結合（1）即可得出的定義域；

（3）分三種情況討論，分別畫出圖形，根據相等的邊用勾股定理列方程求解即可．

解：（1）∵梯形中，，，，

∴，

∵是線段的垂直平分線，

∴，

在中，，

又∵，，設，，

，

∴，

∴．

（2）聯結，，

∵是線段的垂直平分線，

∴

∵，，

∴

在中，

在中，

∴

∴

（3）在中，，，

∴，

當是等腰三角形時

①∵

∴

∵

∴

∴

②

取中點，聯結

∵為的中點

∴為梯形中位線

∴

∵

∴為中點，

∴此時與重合

∴

③

聯結并延長交延長線于點

此時．

∴，，

∴，

∴在中，，

∵

∴解得，（不合題意含去）

∴綜上所述，當是等腰三角形時，的長為或3或