Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，OB=OD，∠BAO=∠DCO．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）把線段AC繞O點順時針旋轉，使AC⊥BD，這時四邊形ABCD是什么四邊形？簡要說明理由；
（3）在（2）中，當AC⊥BD后，又分別延長OA、OC到點A₁，C₁，使OA₁=OC₁=OD，這時四邊形A₁BC₁D是什么四邊形？簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，可知要證四邊形ABCD為平行四邊形，只需再證OA=OC，只需證△AOB≌△COD即可；
（2）根據(jù)已知條件，可知要證四邊形ABCD是菱形，只需證AC⊥BD即可；
（3）要證四邊形A₁BC₁D是正方形，只需證AC=BD即可．

解答：（1）證明：∵AC與BD相交于點O，
∴∠AOB=∠COD，（1分）
在△AOB和△COD中，

∠BAO=∠DCO ∠AOB=∠COD OB=OD

∴△AOB≌△COD，（2分）
∴OA=OC，（3分）
∵OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形（4分）

（2）解：四邊形ABCD是菱形．（5分）
因為對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．（6分）
（或對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

（3）解：四邊形A₁BC₁D是正方形（7分）
因為對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．（8分）
（或對角線相等的菱形是正方形）

點評：本題考查了全等三角形的判定及平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定，以及它們之間的聯(lián)系．