Question

【題目】如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是圓O的弦。過點B作BC//AD，交圓O于點C，連接AC，過點C作CD//AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且BCP=ACD。

（1）判斷直線PC與圓O的位置關系，并說明理由：

（2） 若AB=9，BC=6，求PC的長。

Answer 1

【答案】（1）直線PC與圓O相切（2）

【解析】解：（1）直線PC與圓O相切。理由如下：：

如圖，連接CO并延長，交圓O于點N，連接BN，

∵AB//CD，∴BAC=ACD。

∵BAC=BNC，∴BNC=ACD。

∵BCP=ACD，∴BNC=BCP。

∵CN是圓O的直徑，∴CBN=90。

∴BNCBCN=90，∴BCPBCN=90。

∴PCO=90，即PCOC。

又∵點C在圓O上，∴直線PC與圓O相切。

（2）∵AD是圓O的切線，∴ADOA，即OAD=90。

∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，即OMBC。

∴MC=MB。∴AB=AC。

在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC=BC=3，

由勾股定理，得。

設圓O的半徑為r，

在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=，MC=3，OC=r，

由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即。解得。

在△OMC和△OCP中，∵OMC=OCP，MOC=COP，∴△OMC～△OCP。

∴，即。∴。

（1）過C點作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AD∥BC得∠ACD=∠BAC，而

∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根據切線的判斷得到結論。

（2）根據切線的性質得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據垂徑定理有BM=CM=BC=3，根據線段垂直平分線的性質有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據勾股定理計算出AM= 。設⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM－r=，在Rt△OCM中，根據勾股定理計算出 ，從而由△OMC～△OCP得相似比可計算出PC。