Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=4

2

，∠C=45°，點P是BC邊上一動點，設PB的長為x．
（1）當x的值為

 

時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；
（2）當x的值為

 

時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（3）點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，容易得到AM=DN，AD=MN，而CD=4

2

，∠C=45°，由此可以求出AM=DN，又因為AD=5，容易求出BM、CN，若點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DEB=90°，那么P與M重合或E與N重合，即可求出此時的x的值；
（2）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：①當P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長度；②當P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長度；
（3）以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．由（2）知，當BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據已知條件分別計算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．

解答：解：（1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
則四邊形AMND是矩形，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4

2

，∠C=45°，
∴DN=CN=CD•sin∠C=4

2

×

2

2

=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形，
則∠APC=90°或∠DEB=90°，
當∠APC=90°時，
∴P與M重合，
∴BP=BM=3；
當∠DPB=90°時，P與N重合，
∴BP=BN=8；
故當x的值為3或8時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；

（2）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，
有兩種情況：①當P在E的左邊，
∵E是BC的中點，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當x的值為1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；

（3）由（2）知，①當BP=1時，此時CN=DN=4，NE=6-4=2，
∴DE=

DN2+NE2

=

42+22

=2

5

≠AD，故不能構成菱形．
②當BP′=11時，以點P′、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形
∴EP′=AD=5，
過D作DN⊥BC于N，
∵CD=4

2

，∠C=45°，
則DN=CN=4，
∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-12+4=3．
∴DP′=

DN2+NP2

=

42+32

=5，
∴EP′=DP′，
故此時?P′DAE是菱形．
即以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形；

點評：本題是一個開放性試題，利用梯形的性質、直角梯形的性質、平行四邊形的性質、菱形的性質等知識來解決問題，要求學生對于這些知識比較熟練，綜合性很強．