Question

（2013•永州）我們知道，一元二次方程x²=-1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于-1．若我們規定一個新數“i”，使其滿足i²=-1（即方程x²=-1有一個根為i）．并且進一步規定：一切實數可以與新數進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，從而對于任意正整數n，我們可以得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1．那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³的值為（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．i

Answer 1

分析：i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，從而可得4次一循環，一個循環內的和為0，計算即可．

解答：解：由題意得，i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，
故可發現4次一循環，一個循環內的和為0，
∵

2013

4

=503…1，
∴i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³=i．
故選D．

點評：本題考查了實數的運算，解答本題的關鍵是計算出前面幾個數的值，發現規律，求出一個循環內的和再計算，有一定難度．