Question

在平面直角坐標系中，已知A（0，3），B（4，0），設P、Q分別是線段AB、OB上的動點，它們同時出發，點P以每秒3個單位的速度從點A向點B運動，點Q以每秒1個單位的速度從點B向點O運動．設運動時間為t（秒）．
（1）用含t的代數式表示點P的坐標；
（2）當t為何值時，△OPQ為直角三角形？
（3）在什么條件下，以Rt△OPQ的三個頂點能確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線？選擇一種情況，求出所確定的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）作PM⊥y軸，PN⊥x軸，那么PM就是P點的橫坐標，PN就是P點的縱坐標．然后可通過相似三角形AMP和AOB求出MP的長，同理可通過相似三角形BPN和BAP求出PN的長，即可得出P點的坐標．
（2）本題要分情況進行討論：
①當∠POQ=90°時，P，A重合此時t=0；
當∠OPQ=90°時，可根據射影定理得出PN²=ON•NQ，由此可求出t的值．
當∠OPQ=90°時，Q，N重合，可用BQ的長表示出P點的橫坐標，以此可求出t的值．
（3）很顯然當∠OPQ=90°時，可確定一條符合條件的拋物線，可根據（2）中得出的∠OPQ=90°時t的取值，確定出P，Q的坐標，然后用待定系數法即可求出這條拋物線的解析式．

解答：解：（1）作PM⊥y軸，PN⊥x軸．
∵OA=3，OB=4，
∴AB=5．
∵PM∥x軸，
∴

PM

OB

=

AP

AB

，
∴

PM

4

=

3t

5

，
∴PM=

12

5

t．
∵PN∥y軸，
∴

PN

OA

=

PB

AB

，
∴

PN

3

=

5-3t

5

，
∴PN=3-

9

5

t，
∴點P的坐標為（

12

5

t，3-

9

5

t）．

（2）①當∠POQ=90°時，t=0，△OPQ就是△OAB，為直角三角形．
②當∠OPQ=90°時，△OPN∽△PQN，
∴PN²=ON•NQ．
（3-

9

5

t）²=

12

5

t（4-t-

12

5

t）．
化簡，得19t²-34t+15=0，
解得t=1或t=

15

19

．
③當∠OQP=90°時，N、Q重合．
∴4-t=

12

5

t，
∴t=

20

17

．
綜上所述，當t=0，t=1，t=

15

19

，t=

20

17

時，△OPQ為直角三角形．

（3）當t=1或t=

15

19

時，即∠OPQ=90°時，
以Rt△OPQ的三個頂點可以確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線．
當t=1時，點P、Q、O三點的坐標分別為P（

12

5

，

6

5

），Q（3，0），O（0，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-0），
即y=a（x²-3x）．
將P（

12

5

，

6

5

）代入上式，
得a=-

5

6

．
∴y=-

5

6

（x²-3x）．
即y=-

5

6

x²+

5

2

x．
說明：若選擇t=

15

19

時，點P、Q、O三點的坐標分別是P（

36

19

，

30

19

），Q（

61

19

，0），O（0，0）．
求得拋物線的解析式為y=-

19

30

x²+

61

30

x．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似、直角三角形的判定等知識點，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．