Question

如圖，已知拋物線y=a（x-1）²+3（a≠0）經過點A（-2，0），拋物線的頂點為D，過O作射線OM∥AD．過頂點平行于x軸的直線交射線OM于點C，B在x軸正半軸上，連接BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動點P從點O出發，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設點P運動的時間為t（s）．問當t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形，直角梯形，等腰梯形？
（3）若OC=OB，動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設它們的運動的時間為t（s），連接PQ，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小？并求出最小值及此時PQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A的坐標代入拋物線y=a（x-1）²+3（a≠0）可得a的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）易得D的坐標，過D作DN⊥OB于N；進而可得DN、AN、AD的長，根據平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質，用t將其中的關系表示出來，并求解可得答案；
（3）根據（2）的結論，易得△OCB是等邊三角形，可得BQ、PE關于t的關系式，將四邊形的面積用t表示出來，進而分析可得最小值及此時t的值，進而可求得PQ的長．
解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+3（a≠0）經過點A（-2，0），
∴0=9a+3，
∴a=-（1分）
∴二次函數的解析式為：y=-x²+x+；（3分）

（2）①∵D為拋物線的頂點，
∴D（1，3），
過D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，
∴AD==6，
∴∠DAO=60°．（4分）
∵OM∥AD，
①當AD=OP時，四邊形DAOP是平行四邊形，
∴OP=6，
∴t=6（s）．（5分）
②當DP⊥OM時，四邊形DAOP是直角梯形，
過O作OH⊥AD于H，AO=2，則AH=1（如果沒求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
∴OP=DH=5，t=5（s）（6分）
③當PD=OA時，四邊形DAOP是等腰梯形，
易證：△AOH≌△DPP′，
∴AH=CP，
∴OP=AD-2AH=6-2=4，
∴t=4（s）綜上所述：當t=6、5、4時，對應四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；（7分）

（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等邊三角形則OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）過P作PE⊥OQ于E，
則PE=t（8分）
∴S_BCPQ=×6×3×（6-2t）×t
=（t-）²+（9分）
當t=時，四邊形BCPQ的面積最小值為．（10分）
∴此時OQ=3，OP=，OE=；
∴QE=3-=，PE=，
∴PQ=．（11分）
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．