Question

（2009•河池）如圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．
（1）求∠AOC的度數；
（2）在圖1中，P為直徑BA延長線上的一點，當CP與⊙O相切時，求PO的長；
（3）如圖2，一動點M從A點出發，在⊙O上按逆時針方向運動，當S_△MAO=S_△CAO時，求動點M所經過的弧長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形中有一角為60度時是等邊三角形得到△ACO是等邊三角形，∴∠AOC=60°
（2）由CP與⊙O相切，OC是半徑．得CP⊥OC∴∠P=90°-∠AOC=30°∴PO=2 CO=8
（3）如圖，當S_△MAO=S_△CAO時，動點M的位置有四種．
①作點C關于直徑AB的對稱點M₁，連接AM₁，OM₁．
②過點M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點M₂，連接AM₂，OM₂，
③過點C作CM₃∥AB交⊙O于點M₃，連接AM₃，OM₃，
④當點M運動到C時，M與C重合，
求得每種情況的OM轉過的度數，再根據弧長公式求得弧AM的長．
解答：解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等邊三角形∴∠AOC=60°．

（2）∵CP與⊙O相切，OC是半徑．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=PO=4，
則PO=2CO=8；

（3）如圖，（每找出一點并求出弧長得1分）
①作點C關于直徑AB的對稱點M₁，連接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴
∴當點M運動到M₁時，S_△MAO=S_△CAO，
此時點M經過的弧長為．

②過點M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點M₂，連接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴或
∴當點M運動到M₂時，S_△MAO=S_△CAO，此時點M經過的弧長為．

③過點C作CM₃∥AB交⊙O于點M₃，連接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴或
∴當點M運動到M₃時，S_△MAO=S_△CAO，此時點M經過的弧長為．

④當點M運動到C時，M與C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此時點M經過的弧長為或．
點評：本題利用了等邊三角形的判定和性質，弧長公式，同底等高的三角形的面積相等的性質求解．