Question

【題目】（1）如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，試探索線段BC，DC，EC之間滿足的等量關系，并證明你的結論．

（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）BC＝DC+EC，理由見解析；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由見解析.

【解析】

（1）由題意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，由于∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD＝∠BCE，從而可證明△ACD≌△BCE（SAS）

（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A＝∠CBE＝45°，BE＝BF，從而可求出∠BEF的度數．

解：（1）BD＝DC+EC，

理由如下：∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴EC＝BD，

∴BC＝BD+CD＝CE+CD；

（2）BD2+CD2＝2AD2，

理由如下：連接CE，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，

∴∠DCE＝90°，

∴CE2+CD2＝ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，

又AD＝AE，

∴BD2+CD2＝2AD2．