Question

如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．

（1）求證：AB·AF＝CB·CD；

（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射線DE上的動點．設DP＝x cm（），四邊形BCDP的面積為y cm²．

①求y關于x的函數關系式；

②當x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵，，∴DE垂直平分AC，

∴,∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF．

∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B，

∴△DCF∽△ABC．

∴，即．∴AB·AF＝CB·CD．

（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，

 ∴，∴．

∴（）．

②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小．由（1）知，點C關于直線DE的對稱點是點A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小．

顯然當P、A、B三點共線時PB+PA最小．此時DP＝DE，PB+PA＝AB．

由（1），，，得△DAF∽△ABC．

EF∥BC，得，EF=．

∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．

Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．

∴．

∴當時，△PBC的周長最小，此時．

【解析】（1）根據已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，從而利用有兩對角對應相等的兩三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根據相似三角形的對應邊成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；

（2）①根據勾股定理求出AC，求出CF的長，得出四邊形BCDP是梯形，根據梯形的面積公式得出即可；②求出CP+BP最小時，△BCP的周長最小，根據對稱得出當P到E時，△PBC的周長最小，證△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．