Question

(12分)已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五個點，拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)經過其中的三個點．
(1)求證：C、E兩點不可能同時在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上；
(2)點A在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上嗎？為什么？
(3)求a和k的值．

Answer 1

解：(1)證明：用反證法。假設C(－1，2)和E(4，2)都在拋物線y＝a(x－1)²＋k
(a＞0)上，聯立方程                    ，
解之得a＝0，k＝2。這與要求的a＞0不符。
∴C、E兩點不可能同時在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上。
(2)點A不在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上。這是因為如果點A在拋物線上，則k＝0。B(0，－1)在拋物線上，得到a＝－1，D(2，－1)在拋物線上，得到a＝－1，這與已知a＞0不符；而由(1)知，C、E兩點不可能同時在拋物線上。
因此點A不在拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)上。
(3)綜合(1)(2)，分兩種情況討論：
①拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)經過B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三個點，
          a(0－1)²＋k＝－1
聯立方程 a(－1－1)²＋k＝2， 
           a(2－1)²＋k＝－1
解之得a＝1，k＝－2。
②拋物線y＝a(x－1)²＋k(a＞0)經過B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三個點，
          a(0－1)²＋k＝－1
聯立方程 a(2－1)²＋k＝－1，
           a(4－1)²＋k＝2
解之得a＝，k＝。
因此，拋物線經過B、C、D三個點時，a＝1，k＝－2。拋物線經過B、D、E三個點時，
a＝，k＝。解析:
略