Question

25、目前國內最大跨徑的鋼管混凝土拱橋--永和大橋，是南寧市又一標志性建筑，其拱形圖形為拋物線的一部分（如圖1），在正常情況下，位于水面上的橋拱跨度為350米，拱高為85米．
（1）在所給的直角坐標系中（如圖2），假設拋物線的表達式為y=ax²+b，請你根據上述數據求出a，b的值，并寫出拋物線的表達式；（不要求寫自變量的取值范圍，a，b的值保留兩個有效數字）
（2）七月份汛期將要來臨，當邕江水位上漲后，位于水面上的橋拱跨度將會減小，當水位上漲4m時，位于水面上的橋拱跨度有多大？（結果保留整數）

Answer 1

分析：（1）根據所建坐標系，易知A、B、C三點坐標，把A（或B）、C的坐標代入表達式求解；
（2）水位上漲4m，則求縱坐標為4時對應點的橫坐標，根據對稱性求水面寬即跨度．

解答：解：（1）∵橋拱高度OC=85m，即拋物線過點（0，85）
∴b=85又由已知得：AB=350m，即點A、B的坐標分別為（-175，0），（175，0）
則有0=1752•a+85
解得a≈-0.0028
所求拋物線的表達式為：y=-0.0028x²+85；
（2）設DE為水位上升4m后的橋拱跨度，
即當y=4時，有4=-0.0028x²+85
∴x≈±170   D（-170，0），E（170，0）

∴ED≈170+170=340（m）
答：當水位上漲4m時，位于水面上的橋拱跨度為340m．

點評：此題運用數學建模思想把實際問題轉化為數學模型，體現了數學的實用性，對激發學生學習數學的熱情會有幫助．