Question

如圖，AB是圓O的直徑，AB=10，點C是圓O上一動點（與A，B不重合），∠ACB的平分線交圓O于D．
（1）判斷△ABD的形狀，并證明你的結論；
（2）若I是△ABC的內心，當點C運動時，CI、DI中是否存在長度保持不變的線段？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）△ABD是等腰直角三角形．理由如下：
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）DI的長度不變，且DI=
在Rt△ABD中，
∵AD=BD，AB=10，
∴BD=，
連接OI，
∵I是△ABC的內心，
∴∠4=∠5，
∵由（1）可知=，
∴∠1=∠2，
∵∠3是△BCI的外角，
∴∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，
∴DI=BD是定值，即DI=BD=．
分析：（1）先根據圓周角定理得出∠ADB=90°，根據CD平分∠ACB可知=，所以AD=BD，故可得出結論；
（2）先根據勾股定理求出BD的長，連接OI，則∠4=∠5，由（1）可知=，所以∠1=∠2，再由三角形外角的性質可知∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，故可得出DI=BD是定值．
點評：本題考查的是圓周角定理、等腰直角三角形、圓心角、弧、弦的關系等知識，根據題意作出輔助線，構造出等腰三角形是解答此題的關鍵．