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已知二次函數圖象的對稱軸為直線x=2,經過兩點(0,3)和(-1,8),并與x軸的交點為B、C(點C在點B左邊),其頂點為點P.
(1)求此二次函數的解析式;
(2)如果直線y=x向上或向下平移經過點P,求證:平移后的直線一定經過點B;
(3)在(2)的條件下,能否在直線y=x上找一點D,使四邊形OPBD是等腰梯形?若能,請求出點D的坐標;若不能,請簡要說明你的理由.

解:(1)設二次函數的解析式為y=a(x-2)2+m,
∵拋物線經過點(0,3)和(-1,8),

解得
∴二次函數的解析式為y=(x-2)2-1=x2-4x+3;

(2)拋物線y=x2-4x+3與x軸的交點為B(3,0)、C(1,0),
頂點為P(2,-1).
由題意,設平移后直線為y=x+b,
由已知,-1=2+b,
解得b=-3.
∴直線y=x平移后經過點P的直線為y=x-3,
當x=3時,y=0.
∴直線y=x-3經過點B(3,0);

(3)如圖,過點D作DM⊥x軸于點M,過點P作PN⊥x軸于點N.
在Rt△ONP中,OP2=ON2+PN2=5.
∵點D在直線y=x上,
∴設點D的坐標為(x,x).
在Rt△BDM中,BD2=BM2+DM2=(3-x)2+x2
由OP2=BD2得,
(3-x)2+x2=5,
解得x1=2,x2=1.
當x=1時,四邊形OPBD為平行四邊形,舍去.
∴x=2.
∴點D的坐標為(2,2).
分析:(1)先根據二次函數圖象的對稱軸為直線x=2,設出解析式,再根據拋物線經過點(0,3)和(-1,8),求出自變量,即可得到二次函數的解析式;
(2)求出平移后經過P點直線的解析式,而B點坐標已知,代入解析式正好符合,可證平移后的直線一定經過點B;
(3)在四邊形OPBD是等腰梯形且D在y=x這條直線上時,作如圖所示輔助線,用勾股定理求出D點坐標.
點評:本題主要考查二次函數的綜合運用,其中涉及二次函數對稱軸、解析式求法、一次函數及勾股定理的運用.
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