Question

（2010•綿陽）如圖，已知正比例函數y=ax（a≠0）的圖象與反比例函致（k≠0）的圖象的一個交點為A（-1，2-k²），另一個交點為B，且A、B關于原點O對稱，D為OB的中點，過點D的線段OB的垂直平分線與x軸、y軸分別交于C、E．
（1）寫出反比例函數和正比例函數的解析式；
（2）試計算△COE的面積是△ODE面積的多少倍？

Answer 1

【答案】分析：（1）把A的坐標代入反比例函數解析式，即可得到關于k的方程，從而求得k的值．得到反比例函數解析式以及A的坐標，再利用待定系數法即可求得正比例函數解析式；
（2）證明△COE與△ODE相似，求得相似比，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求解．
解答：解：（1）由圖知k＞0，a＞0，
∵點A（-1，2-k²）在圖象上，
∴2-k²=-k，即k²-k-2=0，解得k=2（k=-1舍去），
得反比例函數為．
此時A（-1，-2），代入y=ax，解得a=2，
∴正比例函數為y=2x．

（2）過點B作BF⊥x軸于F．
∵A（-1，-2）與B關于原點對稱，
∴B（1，2），即OF=1，BF=2，得OB=．
由圖，易知Rt△OBF∽Rt△OCD，
∴OB：OC=OF：OD，而OD==
∴OC==2.5．
由Rt△COE∽Rt△ODE，
得．
所以△COE的面積是△ODE面積的5倍．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，并且運用了相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方．