Question

5、設x是一個n位數，問是否總存在非負整數y≤9和z，使得10ⁿ⁺¹z+10x+y是一個完全平方數？

Answer 1

分析：利用完全平方數的性質和規律，可得知只有當n=1或2的時候成立．

解答：解：存在．只有當n=1或2的時候成立．
若取x=101，如果有相應的y、z，則（1010+y）應該是10000的平方剩余．
特別地，它應該是16的平方剩余，并且平方剩余應該是2、7、14或15之一．
而y≤9，所以只能是2或者7．但是2和7都不能是平方數的尾數，矛盾．
同理，當n≥3時，只要x的末三位是101，就沒有相應的y和z．

點評：本題考查了完全平方數性質的運用，完全平方數的性質有很多，最基本的是：末位數只能是0，1，4，5，6，9． 這一點一定要掌握．