Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，CF平分∠BCD，交EA的延長線于點F，且BC=4，CD=2，給出下列結論：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=，其中正確的是______.（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】分析：根據余角的性質得到∠BAE=∠ADB，等量代換得到∠BAE=∠CAD，故①正確；根據三角函數的定義得到tan∠DBC==，于是得到∠DBC≠30°，故②錯誤；由勾股定理得到BD==2，根據相似三角形的性質得到AE=；故③正確；根據角平分線的定義得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°﹣∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根據外角的性質得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根據等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2，故④正確．

詳解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°．∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB．∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正確；

∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC==，∴∠DBC≠30°，故②錯誤；

∵BD==2．∵AB=CD=2，AD=BC=4．∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE=；故③正確；

∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°﹣∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF．∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC．∵AC=BD=2，∴AF=2，故④正確；

故答案為：①③④．