Question

【題目】如圖，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4，點P為線段BE延長線上一點，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD，線段BE與CD相交于點F

（1）求證：；

（2）連接BD，請你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系？并說明理由；

（3）設(shè)PE=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）AC∥BD；理由見解析；（3）S=x2+2x

【解析】

試題分析：（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，進而得出答案；（2）首先得出△PCE∽△DCB，進而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC與BD的位置關(guān)系；（3）首先利用相似三角形的性質(zhì)表示出BD，PM的長，進而表示出△PBD的面積．

試題解析：（1）∵△BCE和△CDP均為等腰直角三角形， ∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，

∴△BCE∽△DCP， ∴=；

（2）AC∥BD，

理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°， ∴∠PCE=∠BCD， 又∵=， ∴△PCE∽△DCB，

∴∠CBD=∠CEP=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠CBD， ∴AC∥BD；

（3）如圖所示：作PM⊥BD于M， ∵AC=4，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形， ∴BE=CE=4，

∵△PCE∽△DCB， ∴=，即=， ∴BD=x，

∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x， ∴PM=，

∴△PBD的面積S=BDPM=×x×=x2+2x．