Question

19、小麗同學要畫∠AOB的平分線，卻沒有量角器和圓規，于是她用三角尺按下面方法畫角平分線：
①在∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON；
②分別過點M、N作OA、OB的垂線，交點為P；
③畫射線OP，則OP為∠AOB的平分線．
（1）請問：小麗的畫法正確嗎？試證明你的結論；
（2）如果你現在只有刻度尺，能否畫一個角的角平分線？請你在備用圖中試一試．（不需要寫作法，但是要讓讀者看懂，你可以在圖中標明數據）

Answer 1

分析：（1）小麗的畫法正確，在Rt△OMP與Rt△ONP中，因為OP=OP，OM=ON∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB．
（2）分別在∠AOB的兩邊取M、N，使OM=ON，連接MN，并取MN的中點P，畫射線OP，則OP為∠AOB的平分線．（利用了等腰三角形三線合一定理）

解答：解：（1）小麗的畫法是正確的，
證明如下：
因為Rt△OMP與Rt△ONP中，OM=ON，OP=OP，
所以Rt△OMP≌Rt△ONP，
所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB；

（2）只有刻度尺能畫一個角的角平分線，畫法如圖：
①分別在∠AOB的兩邊取M、N，使OM=ON；
②連接MN，并取MN的中點P；
③畫射線OP，則OP為∠AOB的平分線．
作圖依據：等腰三角形底邊上的中線平分頂角．

點評：本題利用了直角三角形的判定以及等腰三角形三線合一定理（底邊上的中線平分頂角，并且垂直于底邊）．