Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2交x軸于點P，交y軸于點A．拋物線y=x²+bx+c的圖象過點E（-1，0），并與直線相交于A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式（關系式）；
（2）過點A作AC⊥AB交x軸于點C，求點C的坐標；
（3）除點C外，在坐標軸上是否存在點M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出A點坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OPA）比例線段之間的關系，求出線段OC的長度，從而得到C點的坐標，如題圖所示；
（3）存在所求的M點，在x軸上有3個，y軸上有2個，注意不要遺漏．求點M坐標的過程并不復雜，但要充分利用相似三角形比例線段之間的關系．
解答：解：（1）直線解析式為y=x+2，令x=0，則y=2，
∴A（0，2），
∵拋物線y=x²+bx+c的圖象過點A（0，2），E（-1，0），
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為：y=x²+x+2．

（2）∵直線y=x+2分別交x軸、y軸于點P、點A，
∴P（6，0），A（0，2），
∴OP=6，OA=2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，
∴OC=，
又C點在x軸負半軸上，
∴點C的坐標為C（，0）．

（3）拋物線y=x²+x+2與直線y=x+2交于A、B兩點，
令x²+x+2=x+2，
解得x₁=0，x₂=，
∴B（，）．
如答圖①所示，過點B作BD⊥x軸于點D，
則D（，0），BD=，DP=6-=．
點M在坐標軸上，且△MAB是直角三角形，有以下幾種情況：
①當點M在x軸上，且BM⊥AB，如答圖①所示．
設M（m，0），則MD=-m．
∵BM⊥AB，BD⊥x軸，∴，
即，
解得m=，
∴此時M點坐標為（，0）；
②當點M在x軸上，且BM⊥AM，如答圖①所示．
設M（m，0），則MD=-m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，
∴，即，
化簡得：m²-m+=0，
解得：m₁=，m₂=，
∴此時M點坐標為（，0），（，0）；
（說明：此時的M點相當于以AB為直徑的圓與x軸的兩個交點）
③當點M在y軸上，且BM⊥AM，如答圖②所示．
此時M點坐標為（0，）；
④當點M在y軸上，且BM′⊥AB，如答圖②所示．
設M′（0，m），則AM=2-=，BM=，MM′=-m．
易知Rt△ABM∽Rt△BM′M，
∴，即，
解得m=，
∴此時M點坐標為（0，）．
綜上所述，除點C外，在坐標軸上存在點M，使得△MAB是直角三角形．
符合條件的點M有5個，其坐標分別為：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．
點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數解析式、一次函數、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質等重要知識點．難點在于第（3）問，所求的M點有5個（x軸上有3個，y軸上有2個），需要分情況討論，不要遺漏．