Question

（2010•德州）●探究：
（1）在圖中，已知線段AB，CD，其中點分別為E，F．
①若A（-1，0），B（3，0），則E點坐標為______；
②若C（-2，2），D（-2，-1），則F點坐標為______；
（2）在圖中，已知線段AB的端點坐標為A（a，b），B（c，d），求出圖中AB中點D的坐標（用含a，b，c，d的代數式表示），并給出求解過程．
●歸納：
無論線段AB處于直角坐標系中的哪個位置，當其端點坐標為A（a，b），B（c，d），AB中點為D（x，y）時，x=______，y=______．（不必證明）
●運用：
在圖中，一次函數y=x-2與反比例函數的圖象交點為A，B．
①求出交點A，B的坐標；
②若以A，O，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，請利用上面的結論求出頂點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）正確作出兩線段的中點，即可寫出中點的坐標；
（2）過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，則AA'∥BB'∥CC'，根據梯形中位線定理即可得證；
①解兩函數解析式組成的方程組即可解得兩點的坐標；
②根據A，B兩點坐標，根據上面的結論可以求得AB的中點的坐標，此點也是OP的中點，根據前邊的結論即可求解．
解答：解：探究（1）①（1，0）；②（-2，）；（2分）

（2）過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，
則AA'∥BB'∥DD'．（1分）
∵D為AB中點，由平行線分線段成比例定理得A'D'=D'B'．
∴OD'=
即D點的橫坐標是．（1分）
同理可得D點的縱坐標是．
∴AB中點D的坐標為（，）．（1分）

歸納：，．（1分）
運用①由題意得
解得或
∴即交點的坐標為A（-1，-3），B（3，1）．（2分）
②以AB為對角線時，由上面的結論知AB中點M的坐標為（1，-1）．
∵平行四邊形對角線互相平分，
∴OM=MP，即M為OP的中點．
∴P點坐標為（2，-2）．（1分）
當OB為對角線時，PB=AO，PB∥AO，
同理可得：點P坐標分別為（4，4），
以OA為對角線時，PA=BO，PA∥BO，
可得：點P坐標分別為（-4，-4）．
∴滿足條件的點P有三個，
坐標分別是（2，-2），（4，4），（-4，-4）．（1分）
點評：本題主要探索了：兩點連線的中點的橫坐標是兩點橫坐標的中點，縱坐標是縱坐標的中點．