Question

如圖是反比例函數y=

9

x

（x＞0）的圖象，點C的坐標為（0，2），若點A是函數y=

9

x

圖象上一點，點B是x軸正半軸上一點，當△ABC是等腰直角三角形時，點B的坐標為

（4，0）或（

5

2

，0）或（-1+

10

，0）

．

Answer 1

分析：分∠CAB是直角，∠ACB是直角，∠ABC是直角三種情況進行討論．
當∠CAB=90°時，作AE⊥x軸于E點，作AD⊥y軸于D點．則易證△ADC≌△AEB，可以得到A的橫縱坐標相等，求得A的坐標，則BE=CD，從而求得OB的長度，得到B的坐標；
當∠ACB=90°時，作AD⊥y軸于D，易證△ACD≌△CBO，則A的橫坐標可以求得，進而求得A的縱坐標，根據OB=CD，則B的坐標可以得到；
當∠ABC=90°時，作AD⊥x軸，則△OBC≌△BAD，BD=OC=2，OB=AD，設OB=AD=x，則OD=x+2，則A的坐標是（x+2，x），代入y=

9

x

，求得x的值，得到B的坐標．

解答：解：1）當∠CAB=90°時，如圖（1），作AE⊥x軸于E點，作AD⊥y軸于D點．則∠DAE=90°，
∵∠DAE=∠CAB=90°，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AED中：
∵

AD=AE ∠DAC=∠EAB AC=AB

∴△ADC≌△AEB
∴AD=AE，BE=CD
則A的橫坐標與縱坐標相等，設A的坐標是（a，a），代入函數解析式得：a=

9

a

，解得：a=3或-3（舍去）．
則A的坐標是（3，3）．
∴OD=3，CD=OD-OC=3-2=1，
∴BE=CD=1，OB=OE+BE=3+1=4，
則B的坐標是（4，0）；

2）當∠ACB=90°時，如圖（2），作AD⊥y軸于D．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
又∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BCO
在△ACD和△CBO中，
∵

∠ACD=∠BCO ∠ADC=∠BOC AC=BC

∴△ACD≌△CBO，
∴AD=OC=2，
則A的橫坐標是2，把x=2代入y=

9

x

得：y=

9

2

，
∴OD=

9

2

，CD=OD-OC=

9

2

-2=

5

2

，
∴OB=CD=

5

2

，則B的坐標是（

5

2

，0）；

3）當∠ABC=90°時，如圖（3），作AD⊥x軸，
同（2）可以證得：△OBC≌△BAD，
∴BD=OC=2，OB=AD，
設OB=AD=x，
則OD=x+2，
則A的坐標是（x+2，x），代入y=

9

x

，得：x=

9

x+2

，解得：x=-1+

10

或-1-

10

（舍去），
則B的坐標是（-1+

10

，0）．
則B的坐標是：（4，0）或（

5

2

，0）或（-1+

10

，0）．
故答案是：（4，0）或（

5

2

，0）或（-1+

10

，0）．

點評：本題考查了反比例函數與三角形的全等的綜合應用，正確作出輔助線，得到三角形全等是關鍵．