Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線AD與⊙O相切于點A，點C在⊙O上，∠DAC=∠ACD，直線DC與AB的延長線交于點E．AF⊥ED于點F，交⊙O于點G．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）已知⊙O的半徑是6cm，EC=8cm，求GF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由AD為圓的切線，得到∠OAD為直角，可得出一對角互余，由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知的一對角相等，等量代換得到∠OCA與∠ACD互余，即∠OCD為直角，即可得到DE為圓O的切線；
（2）連接BG，在直角三角形OCE中，由OC與EC的長，利用勾股定理求出OE的長，由OE+OA求出AE的長，由AF垂直于ED，得到一對直角相等，再由公共角相等，得到三角形AEF與三角形OEC相似，由相似得比例列出關系式，將各自的值代入求出AF的長，由AB為直徑，得到∠AGB為直角，可得出BG與BF平行，由平行得比例，求出AG的長，由AF-AG即可求出GF的長．

解答：（1）證明：連接OC，
∵AD是⊙O的切線，
∴∠OAD=90°，
∴∠OAC+∠DAC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，
∴ED是⊙O的切線；

（2）解：連接BG，
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE=

OC2+EC2

=10cm．
∴AE=OE+OA=16cm．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC，
∴

AF

OC

=

AE

OE

，
∴AF=

AE•OC

OE

=

16×6

10

=9.6cm．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AGB=90°，
∴BG∥EF，
∴

AG

AF

=

AB

AE

，
∴AG=

AB•AF

AE

=

12×9.6

16

=7.2cm，
∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4cm．

點評：此題考查了切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質，平行線的性質，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．