Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若點M是的中點，CM交AB于點N，AB=8，求MN•MC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知得出∠PCB+∠OCB=90°，進而求出∠PCO=90°，利用切線的判定定理求出即可；
（2）首先證明△MBN∽△MCB，再利用相似的性質求出△MBN∽△MCB，進而得出MN•MC=BM²的值．
解答：解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．     
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
而OC是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線．

（2）連接MA，MB，
∵點M是的中點，
∴，
∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴，
又∵AB是⊙O的直徑，，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=．                                     
∴MN•MC=BM²=32．
點評：此題主要考查了切線的判定與相似三角形的判定與性質，此題是中考中重點題型同學們應重點掌握．