Question

如圖所示，在生產中，為了節約原材料，加工零件時常用一些邊角余料，△ABC為銳角三角形廢料．其中BC＝12 cm，BC邊上高AD＝8 cm，在△ABC上截取矩形PQMN，與BC邊重合，畫出草圖說明P，N兩點落在什么位置上，才能使它的面積最大？最大面積是多少？并求出這時矩形的長和寬．

Answer 1

解析：

[答案]如圖，設PN交AD于E．PQ長為x(cm)，PN長為y cm．矩形的面積為S(cm2)．則AE＝(8－x)cm， 　　∵PN∥BC．∴∠APN＝∠ABC． 　　又∠PAN＝∠BAC，∴△APN∽△ABC．∴＝， 　　即＝．∴y＝(8－x)． 　　∴S＝PN·PQ＝xy＝(8－x)x＝－x2＋12x(0＜x＜8)． 　　即S＝－(x－4)2＋24． 　　∴當x＝4時，S有最大值24，此時y＝×(8－4)＝6cm． 　　此時＝＝＝＝，即P是AB的中點，Q是BD的中點． 　　故當P，Q分別為AB，BD的中點時，才可使矩形PQMN的面積最大，最大面積為24cm2，此時矩形的長為6cm，寬為4cm．