Question

（2013•鄂爾多斯）如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若∠PAC=60°，直徑AC=4

3

，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接AN，由以AC為直徑的⊙O，可得∠ANC=90°，又由AB=AC，AN⊥BC，可求得∠CAN=∠BCP，繼而證得∠ACP=90°，即可判定PC是⊙O的切線；
（2）連接ON，由AB=AC，∠BAC=60°，可得△ABC是等邊三角形，然后分別求得△OCN與扇形CON的面積，即可求得答案．

解答：（1）證明：連接AN，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=90°，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴2∠CAN=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP，
∴∠BCP+∠ACB=90°，
即∠ACP=90°，
∴AC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；                               

（2）連接ON，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵ON=OC，
∴△ONC是等邊三角形，
∴∠NOC=60°，
∴OC=NC=

1

2

AC=

1

2

×4

3

=2 

3

，
過點O作OE⊥NC于E，
∵sin∠ACB=

OE

OC

，
∴sin60°=

OE

2 3

，
∴OE=2

3

×

3

2

=3，
∵S_△ONC=

1

2

NC•OE=

1

2

×2

3

×3=3

3

，S_扇形=

60π×(2 3 )2

360

=2π，
∴S_陰影=S_扇形-S_△ONC=2π-3

3

．

點評：此題考查了切線的判定、扇形的面積以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．