Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．請探究：
（1）線段AE與CG是否相等請說明理由：
（2）若設AE=x，DH=y，當x取何值時，y最大？
（3）連接BH，當點E運動到AD的何位置時，△BEH∽△BAE？

Answer 1

分析：（1）AE=CG，要證結論，必證△ABE≌△CBG，由正方形的性質很快確定∠3=∠4，又AB=BC，BE=BG，符合SAS即證．
（2）先證△ABE∽△DEH，所以

DH

AE

=

DE

AB

，即可求出函數解析式y=-x²+x，繼而求出最值．
（3）要使△BEH∽△BAE，需

AE

AB

=

EH

BE

，又因為△ABE∽△DEH，所以

EH

BE

=

DH

AE

=

1

2

，即

AE

AB

=

1

2

，所以當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE．

解答：解：（1）AE=CG．
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，
∠3+∠5=90°，
∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4．
又AB=BC，BE=BG，
∴△ABE≌△CBG．
∴AE=CG．

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°．
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEH．
∴

DH

AE

=

DE

AB

．
∴

y

x

=

1-x

1

．
∴y=-x²+x
=-（x-

1

2

）²+

1

4

當x=

1

2

時，y有最大值為

1

4

．

（3）解：當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中點，
∴AE=

1

2

．
∴DH=

1

4

．
又∵△ABE∽△DEH，
∴

EH

BE

=

DH

AE

=

1

2

．
又∵

AE

AB

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

EH

BE

．
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE．

點評：本題結合正方形的性質考查二次函數的綜合應用，以及正方形的性質和相似三角形的判定