Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點，已知點A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．
①動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；
②連接PA，以AP為邊作圖示一側的正方形APMN，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）①根據點A、B的坐標求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，PD越大，△PDE的周長最大，再判斷出當與直線AB平行的直線與拋物線只有一個交點時，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯立消掉y，得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點P的坐標；
②先確定出拋物線的對稱軸，然后（i）分點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，根據同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得PF=PQ，設點P的橫坐標為n，表示出PQ的長，即PF，然后代入拋物線解析式計算即可得解；（ii）點N在對稱軸上時，同理求出△APF和△ANQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得PF=AQ，根據點A的坐標求出點P的縱坐標，再代入拋物線解析式求出橫坐標，即可得到點P的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，
解得，
所以，拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）①∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x軸，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周長越大，
易得直線AB的解析式為y=x+3，
設與AB平行的直線解析式為y=x+m，
聯立，
消掉y得，x²+3x+m-3=0，
當△=3²-4×1×（m-3）=0，
即m=時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，
此時x=-，y=-+=，
∴點P（-，）時，△PDE的周長最大；

②拋物線y=-x²-2x+3的對稱軸為直線x=-=-1，
（i）如圖1，點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
設點P的橫坐標為n（n＜0），則PQ=-1-n，
即PF=-1-n，
∴點P的坐標為（n，-1-n），
∵點P在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴-n²-2n+3=-1-n，
整理得，n²+n-4=0，
解得n₁=（舍去），n₂=，
-1-n=-1-=，
所以，點P的坐標為（，）；

（ii）如圖2，點N在對稱軸上時，設拋物線對稱軸與x軸交于點Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF=AQ，
設點P坐標為P（x，-x²-2x+3），
則有-x²-2x+3=-1-（-3）=2，
解得x=-1（不合題意，舍去）或x=--1，
此時點P坐標為（--1，2）．
綜上所述，當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時，點P坐標為（，），當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時，點P的坐標為（--1，2）．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，等腰直角三角形的判定與性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，拋物線上點的坐標特征，（2）確定出△PDE是等腰直角三角形，從而判斷出點P為平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時的位置是解題的關鍵，（3）根據全等三角形的性質用點P的橫坐標表示出縱坐標或用縱坐標求出橫坐標是解題的關鍵．