Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點的坐標分別為A（-6，0），B（6，0），C（0，4

3

），延長AC到點D，使CD=

1

2

AC，過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E．
（1）求D點的坐標；
（2）作C點關于直線DE的對稱點F，分別連接DF、EF，若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；
（3）設G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短．（要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明）

Answer 1

分析：（1）借助△DMC∽△AOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得點D的坐標；
（2）先說明四邊形CDFE是菱形，且其對稱中心為對角線的交點M，則點B與這一點的連線即為所求的直線，再結(jié)合全等三角形性質(zhì)說明即可，由點B、M的坐標求得直線BM的解析式；
（3）過點A作MB的垂線，該垂線與y軸的交點即為所求的點G，再結(jié)合由OB、OM的長設法求出∠BAH，借助三角函數(shù)求出點G的坐標．

解答：解：（1）∵A（-6，0），C（0，4

3

）
∴OA=6，OC=4

3

設DE與y軸交于點M
由DE∥AB可得△DMC∽△AOC
又∵CD=

1

2

AC
∴

MD

OA

=

CM

CO

=

CD

CA

=

1

2

∴CM=2

3

，MD=3
同理可得EM=3
∴OM=6

3

∴D點的坐標為（3，6

3

）；

（2）由（1）可得點M的坐標為（0，6

3

）
由DE∥AB，EM=MD
可得y軸所在直線是線段ED的垂直平分線
∴點C關于直線DE的對稱點F在y軸上
∴ED與CF互相垂直平分
∴CD=DF=FE=EC
∴四邊形CDFE為菱形，且點M為其對稱中心
作直線BM，設BM與CD、EF分別交于點S、點T，
可證△FTM≌△CSM
∴FT=CS，
∵FE=CD，
∴TE=SD，
∵EC=DF，
∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS，
∴直線BM將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，
由點B（6，0），點M（0，6

3

）在直線y=kx+b上，可得直線BM的解析式為y=-

3

x+6

3

．

（3）設點P在AG上的運動速度為x，點P在Y軸上的運動速度為2x，
則點P到達點A的時間為t=

MG

2x

+

GA

x

=

1

x

（

MG

2

+GA）
過點G作GH垂直于BM，由于角BMO=30°，
∴

MG

2

=GH，
∴t=

1

x

（

MG

2

+GA）=

1

x

（GH+GA），
要使t最小，則GH+GA最小，即當點G、A、H三點一線時，t有最小值，
確定G點位置的方法：過A點作AH⊥BM于點H，則AH與y軸的交點為所求的G點
由OB=6，OM=6

3

，
可得∠OBM=60°，
∴∠BAH=30°，
在Rt△OAG中，OG=AO•tan∠BAH=2

3

，
∴G點的坐標為(0，2

3

)．（或G點的位置為線段OM的中點）

點評：本題綜合考查了圖形的性質(zhì)和坐標的確定，是綜合性較強，難度較大的綜合題，其中本題第三問是難點，學生主要不會確定點G的位置．