Question

已知關于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0
（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根；
（2）若一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的兩個實數根分別為x₁，x₂．且|x₁-x₂|=2，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程根的判別式，當△≥0時，方程有兩個實數根，所以只需證明△≥0即可；
（2）利用一元二次方程根與系數的關系，首先將|x₁-x₂|=2，變形得出兩根之和與兩根之差的形式，結合x₁+x₂=-，x₁x₂=，求出即可．
解答：解：（1）①當m=0時，原方程為x-2=0，
解得：x=2，
所以方程有實數根；
②當m≠0時，
∵△=b²-4ac
=[-（3m-1）]²-4m（2m-2），
=（3m-1）²-8m²+8m，
=9m²-6m+1-8m²+8m，
=m²+2m+1，
=（m+1）²；
∴△=（m+1）²≥0，
∴方程有實數根；
綜上可知無論m取任何實數時，方程恒有實數根；

（2）∵一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的兩個實數根分別為x₁，x₂．
|x₁-x₂|=2，
∴x₁+x₂=-=，x₁x₂==；
∴（x₁-x₂）²=4，
∴x₁²+x₂²-2x₁x₂=4，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-4x₁x₂=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（）²-4×=4，
∴整理得：-3m²+2m-1=0，
解得：m₁=1，m₂=-，
∴一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的兩個實數根分別為
x₁，x₂，且|x₁-x₂|=，m的值為1或-．
點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，以及根的判別式，將|x₁-x₂|=2，正確的平方，得出兩根之和與之差形式是解決問題的關鍵．