Question

已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．

（1）如圖①，當PA的長度等于______

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是直徑，可得∠APB=90°，然后利用三角函數即可求得PA的長；當PA=PB時，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性質與射影定理即可求得答案．
（2）過點P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F延長FP交BC于點G，則PG⊥BC，P點坐標為（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a，利用矩形的面積關系與二次函數的知識即可求得答案．
解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
則在Rt△PAB中，PA=AB=2，
∴當PA的長度等于2時，∠PAD=60°；

若△PAD是等腰三角形，當PA=PD時，
此時P位于四邊形ABCD的中心，
過點P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
則四邊形EAMP是正方形，
∴PM=PE=AB=2，
∵PM²=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2，
當PD=DA時，以點D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點為點P．
連PD，令AB中點為O，再連DO，PO，DO交AP于點G，
則△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
設AG為2x，OG為x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=
∴AG=2x=，
∴AP=
∴當PA的長度等于2或時，△PAD是等腰三角形；

（2）過點P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F延長FP交BC于點G，
則PG⊥BC，
∵P點坐標為（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4-a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S₁=2a，S₂=2b，S₃=8-2a，
∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∴PE²=AE•BE，
即b²=a（4-a），
∴2S₁S₃-S₂²=4a（8-2a）-4b²=-4a²+16a=-4（a-2）²+16，
∴當a=2時，b=2，2S₁S₃-S₂²有最大值16．
點評：此題考查了正方形的性質，圓周角的性質以及三角函數的性質等知識．此題綜合性很強，解題時要注意數形結合與方程思想的應用．