Question

課題學習
問題背景　甲、乙、丙三名同學探索課本上一道題：如圖1，E是邊長為a的正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形
任務要求：
（1）請你在圖1中畫出旋轉后的圖形
甲、乙、丙三名同學又繼續探索：
在正方形ABCD中，∠EAF=45°，點F為BC上一點，點E為DC上一點，∠EAF的兩邊AE、AF分別與直線BD交于點M、N．連接EF
甲發現：線段BF，EF，DE之間存在著關系式EF=BF+DE；
乙發現：△CEF的周長是一個恒定不變的值；
丙發現：線段BN，MN，DM之間存在著關系式BN²+DM²=MN²
（2）現請也參與三位同學的研究工作中來，你認為三名同學中哪個的發現是正確的，并說明你的理由．

Answer 1

解：畫圖如圖（1）

（2）選擇甲發現：
證明：延長CB到K，使BK=DE，連AK，則△AKB≌△AED，
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
∵AK=AE，AF=AF，
∴△AKF≌△AEF．
∴KF=EF．
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE
選擇乙發現：
證明：延長CB到K，使BK=DE，連AK，則△AKB≌△AED
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
∵AK=AE，AF=AF，
∴△AKF≌△AEF．
∴KF=EF．
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE
△CEF周長=CF+CE+EF
=CF+CE+（BF+DE）
=（CF+BF）+（CE+DE）
=BC+DC=2a（定值）
選擇丙發現：

證明：如圖，在AK上截取AG=AM，連接BG，GN．
∵AG=AM，AB=AD，∠KAB=∠EAD，
∴△ABG≌△ADM，
∴BG=DM，∠ABG=∠ADB=45°．
又∵∠ABD=45°，
∴∠GBD=90°．
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
又∵AG=AM，AN=AN，
∴△GAN≌△NAM．
∴NG=MN，
∵∠GBD=90°，
∴BG²+BN²=NG²，
∴BN²+DM²=MN²．
綜上所述：甲、乙、丙三名同學的發現都是正確的．
分析：（1）根據圖形旋轉前后所構成的兩圖形全等畫出圖形即可；
（2）①選擇甲，延長CB到K，使BK=DE，連AK，由圖形旋轉的性質可得△AKB≌△AED，可得出
∠KAF=∠FAE，進而可得出△AKF≌△AEF，由全等三角形的性質及BK=DE可得出EF=BF+DE；
②選擇乙，延長CB到K，使BK=DE，連AK，由圖形旋轉的性質可得△AKB≌△AED，由全等三角形的性質可得到△AKF≌△AEF，再根據BK=DE即可得出△CEF周長為定值；
③選擇丙，在AK上截取AG=AM，連接BG，GN，由圖形旋轉的性質可得△ABG≌△ADM，△GAN≌△NAM，再由勾股定理即可得出BN²+DM²=MN²．
點評：本題考查的是圖形的旋轉，通過旋轉利用全等三角形，發現邊的關系，再利用直角三角形的勾股定理找到三條線段的平方關系，利用構造法證明△AKF≌△AEF，△GAN≌△NAM是解答此題的關鍵．