Question

（2011•常州）在平面直角坐標系XOY中，直線l₁過點A（1，0）且與y軸平行，直線l₂過點B（0，2）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點P．點E為直線l₂上一點，反比例函數（k＞0）的圖象過點E與直線l₁相交于點F．

（1）若點E與點P重合，求k的值；

（2）連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點的坐標；

（3）是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等？若存在，求E點坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）若點E與點D重合，則k=1×2=2；

 

（2）當k＞2時，如圖1，點E、F分別在P點的右側和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形，

∵PF⊥PE，

∴S_△FPE=PE•PF=（﹣1）（k﹣2）=k²﹣k+1，

∴四邊形PFGE是矩形，

∴S_△PFE=S_△GEF，

∴S_△OEF=S_矩形OCGD﹣S_△DOF﹣S_△EGD﹣S_△OCE=•k﹣（k²﹣k+1）﹣k=k²﹣1

∵S_△OEF=2S_△PEF，

∴k²﹣1=2（k²﹣k+1），

解得k=6或k=2，

∵k=2時，E、F重合，

∴k=6，

∴E點坐標為：（3，2）；

 

（3）存在點E及y軸上的點M，使得△MEF≌△PEF，

①當k＜2時，如圖2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，

∵△FHM∽△MBE，

∴=，

∵FH=1，EM=PE=1﹣，FM=PF=2﹣k，

∴=，BM=，

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，

∴（1﹣）²=（）²+（）²，

解得k=，此時E點坐標為（，2），

 

②當k＞2時，如圖3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，=，

∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，FM=PE=﹣1，

∴=，BM=2，

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，

∴（k﹣2）²=（）²+2²，解得k=或0，但k=0不符合題意，

∴k=．

此時E點坐標為（，2），

∴符合條件的E點坐標為（，2）（，2）．

解析:略