Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，點C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為4，求點A到CD所在直線的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點C在⊙O上，先連接OC，由已知CA=CD，∠CDA=30°，得∠CAO=30°，∠ACO=30°所以得到∠COD=60，根據三角形內角和定理得∠DCO=90°即能判斷直線CD與⊙O的位置關系．
（2）要求點A到CD所在直線的距離，先作作AE⊥CD，垂足為E，由，∠CDA=30°，得AE=AD，在直角三角形OCD中，半徑OD=4，所以OD=2OC=8，AD=OA+0D=12．從而求出AE．
解答：解：（1）∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
連接OC，
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
在△COD中，又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°
∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切．

（2）過點A作AE⊥CD，垂足為E．
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，
∴OD=2OC=8，
AD=AO+OD=4+8=12
在Rt△ADE中，∵∠EDA=30°，
∴點A到CD邊的距離為：AE==6．
點評：此題考查的知識點是切線的判定與性質，解題的關鍵是運用直角三角形的性質及30°角所對直角邊的性質，三角形內角和定理．