Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點，如圖3-1-13①②③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況，
由①②③研究：（1）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數量關系？并結合圖①加以證明。
（2）三角板繞點P旋轉，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長；若不能，請說明理由）。
（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM：MB=1：3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數量關系？并結合圖④加以證明。

Answer 1

解：（1）連接PC，因為△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，所以CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACP=45°，即∠ACP=∠B=45°，又因為∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
所以∠DPC=∠BPE，即△PCD≌△PBE，所以PD=PE。…………………3分
（2）共有四種情況：①當點C與點E重合，即CE=0時，PE=PB，②當CE=2-時，此時PB=BE；③當CE=1時，此時PE=BE；④當E在CB的延長線上，且CE=2+時，此時PB=EB。…6分
（3）MD：ME=1：3，…………………7分
證明如下：過點M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分別是F、H，所以MH∥AC，MF∥BC，即四邊形CFMH是平行四邊形，因為∠C=90°，所以□CFMH是矩形，即∠FMH=90°，MF=CH，因為，
而HB=MH，所以…………………9分，
因為∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，所以∠DMF=∠EMH，因為∠MFD=∠EMH=90°，所以△MDF∽△MEH，即…………………10分

解析