Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點E，連接CE．
（1）說明：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，P是直線DE上的一點．則當P在何處時，PB+PC最小，并求出此時PB+PC的值．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形“三合一”的性質證得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE=CE，根據等邊對等角、直角三角形的兩個銳角互余的性質以及等量代換求得∠BCE=∠B；最后根據等角對等邊證得CE=BE，所以AE=CE=BE；
（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC=PA；由等量代換知PB+PC=PB+PA；根據兩點之間線段最短可知，當點P、B、A在同一直線上最小，所以點P在E處時最小．

解答：解：（1）證明：在等邊三角形ADC中，
∵DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠CAE（等邊對等角）；
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴CE=BE（等角對等邊），
∴AE=CE=BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，
∴PC=PA，
∴PB+PC=PB+PA；
∴當PB+PC最小時，也就是PB+PA最小，即點P、B、A在同一直線上最小，所以點P在E處時最小．
當點P在E處時，PB+PC=EB+EC=EB+EA=AB=15cm．

點評：本題綜合考查了等邊三角形的性質、線段垂直平分線的性質．解答（2）題時，主要利用“兩點之間線段最短”來確定點P的位置．