Question

公園的風景墻上設計了一種矩形窗戶（如圖1），在矩形窗框內有等寬的四邊形窗格（空白處用以通風透光）．圖2是其設計圖，已知AD=60cm，AB=80cm，E、F、G、H分別是矩形各邊的中點，四邊形EFGH和E’F’G’H’形狀相同．點E、E’、G’、G和F、F’、H’、H各在一條直線上，量得EE’=GG’=10cm，FF’=HH’=7.5cm．求窗戶用以通風的面積．

Answer 1

解：連接AC、BD，
∵E、F分別是AD、AB的中點，
∴EF=BD，
同理：GH=BQ，EH=AC=FG，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
即四邊形EFGH是菱形，
∵四邊形EFGH和E’F’G’H’形狀相同，
∴四邊形E’F’G’H’也是菱形，
連接EG、FH，則FH=AD=60，EG=AB=80，
∴E’G’=EG-EE’-GG’=80-10-10=60，
F’H’=FH-FF’一HH’=60-7.5-7.5=45，
∴窗戶的通風面積為：
S_矩形ABCD-S_菱形EFGH+S_{菱形E’F’G’H}’
=80×60-×80×60+×60×45，
=3750（cm²）．
答：窗戶用以通風的面積是3750cm²．
分析：根據三角形的中位線定理和矩形的性質求出EF=FG=GH=HE，推出四邊形EFGH是菱形，求出菱形的對角線長，根據菱形的性質和S_矩形ABCD-S_菱形EFGH+S_{菱形E’F’G’H}，代入求出即可．
點評：本題主要考查對矩形的性質，菱形的性質和判定，三角形的中位線定理等知識點的理解和掌握，能推出四邊形是菱形是解此題的關鍵．